SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.
Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.
Aquí tenemos un caso, donde se ven los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:
En los triángulos semejantes se cumplen las condiciones siguientes:
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Los ángulos homólogos son iguales:
Los lados homólogos son proporcionales:
A "r" se le denomina razón de semejanza.
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Se cumple que la razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es también la razón de semejanza y que la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de semejanza:
Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario conocer sus tres ángulos y sus tres lados. Existen tres criterios para asegurarlo.
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Criterios de semejanza de dos triángulos
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Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen que sumar 180°).
Si α = α’ y β = β’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
2. Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.
Entonces:
Y, además, α = α’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
3. Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.
Entonces:
Tenemos también que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.
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Triángulos en posición de Tales
Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.
Esta condición es la que establece el primer teorema de Tales.
Y, por tanto, se cumple que:
Ejercicio 1:
Los dos triángulos de la figura tienen sus lados de longitudes: 7,6 cm, 4,18 cm y 6,65 cm, el primero de ellos, mientras que los lados del segundo triángulo miden 4 cm, 2,2 cm y 3,5 cm. Se pregunta si estos triángulos son semejantes.
Solución:
Como se saben los tres lados de los dos triángulos, aplicamos el tercer criterio de semejanza.
